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Academic Year/course: 2023/24

417 - Degree in Economics

27402 - Mathematics I


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27402 - Mathematics I
Faculty / School:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Degree:
417 - Degree in Economics
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
First semester
Subject type:
Basic Education
Module:
---

1. General information

Mathematics subjects are, for future economics graduates, a methodological working tool that should support other subjects that form the distinctive core of their training, such as microeconomics, macroeconomics, econometrics, etc,

The general objective of this subject is to study economic problems from a formal point of view, i.e., to model the economic reality in order to understand it and give a scientific explanation of what has happened, as well as to try to predict what is going to happen.

Specifically, Mathematics I aims to broaden mathematical knowledge of matrix calculus and functions of one variable and to introduce the study of functions of several variables, thus preparing the student to assimilate in Mathematics II (taught in the second semester of the same year) the mathematical tools more used in economic analysis, mainly in the field of Economic Theory and Econometrics.  This first mathematics subject helps the student to move from the fundamentally calculative knowledge of mathematics in secondary education to the rigor and abstraction of the scientific field of mathematics, which will allow them to face other subjects of the degree that use mathematical apparatus and future challenges in their profession. At the end of the subject, the student will know with certain precision the mathematical language, which will allow them to understand economic concepts and interpret results with certain rigor, and will know a set of instruments and calculation methods that will allow them to solve simple economic problems.

These approaches and goals are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the 2030 Agenda of the United Nations () Agenda (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), in particular, the activities planned in the subject will contribute to the achievement of Goals 1-17, as mathematical modelling can be applied in all of them

It is advisable that at the beginning of this subject the students have skills in the handling of arithmetic operations, matrices and real functions of a real variable, at the level of the knowledge acquired in the subject of Baccalaureate Mathematics Applied to Social Sciences II.

2. Learning results

At the end of the subject the students will be able to:

1. Use mathematical language with some proficiency, both in understanding and writing.

2. Distinguish when the relationships between the variables of a problem are linear or nonlinear and use the appropriate mathematical tool for their representation.

3. Use matrix notation and calculus to represent and solve an economic problem in which the relationships between variables are linear.

4. Solve a system of compatible linear equations using the most appropriate method and interpret its solutions in the context from which it comes if it is the case.

5. Determine if a square matrix is diagonalizable and diagonalize it if necessary.

6. Apply the diagonalization of square matrices in the economic context, for example, in the study of a long-run dynamic process.

7. Identify a quadratic form and determine its sign with the most appropriate procedure.

8. Differentiate between endogenous and exogenous variables in an economic phenomenon and represent the relationships between them by means of functions.

9. Understand the meaning of the mathematical concepts of continuity and differentiability in the economic context.

10.  Calculate partial derivatives and interpret them in the economic field.

11. Recognize the chain dependency of different variables and calculate the variation of the final variables with respect to any of the initials.

12. Recognize whether a function is given in explicit or implicit form and obtain the partial derivatives, in either case.

13. Recognize when a function is homogeneous and the implications of this property, in particular in the context of production functions.

14. Recognize the mathematical tool that allows to determine a total magnitude from the corresponding partial one.

15. Understand the concepts of primitive of a function and indefinite integral.

16. Identify and apply the most appropriate method to calculate the indefinite integral of a function.

17. Understand the geometric meaning of the definite integral: Riemann integral.

18. Apply Barrow's rule for the calculation of the definite integral.

19. Identify the fundamental elements in a problem of an economic nature, formalize if possible such phenomenon in a mathematical problem, solve such mathematical problem with the most appropriate method or tool and interpret the result in the original economic context.

3. Syllabus

Unit 1. Matrices

1.1.  Determinants. Applications: calculating the rank of a matrix, calculating the inverse matrix and Cramer's Rule.

1.2.    Rn: Generator systems. Basis.

1.3.  Diagonalization of square matrices:

1.3.1.  Eigenvalues and eigenvectors of a square matrix: definition and calculation.

1.3.2.  Diagonalization of a square matrix.

1.3.3.  Application to the calculation of matrix powers.

 

Unit 2. Real quadratic forms

2.1.  Quadratic forms: definition. Matrix expression and polynomial expression.

2.2.  Diagonal expression of a quadratic form.

2.3.  Classification of a quadratic form according to its sign.

2.4.  Restricted quadratic forms.

 

Unit 3. Functions of Rn in Rm

3.1.  Preliminaries: topological concepts.

3.2.  Functions: domain, range and graph. Level sets of scalar functions.

3.3.  Continuity of a function.

3.4.  Derivation of a function. Partial derivatives. Gradient vector. Jacobian matrix.

3.5.  Differentiable function. Directional derivative of differentiable functions.

3.6.  Derivation of composite functions: Chain rule. Tree diagrams.

3.7.  Higher order derivatives. Schwartz theorem. Hessian matrix. Taylor's Theorem.

3.8.  Implicit function theorem. Derivation of implicit functions.

3.9.  Homogeneous functions. Euler's Theorem.

3.10.  Basic methods of integration of a function of one variable. Barrow's rule.

4. Academic activities

To facilitate student achievement of the intended learning results the following is proposed:

Master classes: 30 hours, in which the presentation of concepts and results will be combined with the participatory resolution of exercises, in which the theoretical aspects will be applied immediately. These classes will be face-to-face and will be taught to the whole group.

Practical classes: 30 hours, in which the students will solve, with the help of the teacher, more complete exercises and problems of an economic nature. These exercises can be found on the URL. These classes will be face-to-face and will be taught to half of the group .

Personal work:

  • Teaching assignments: up to 24 hours, in which various activities directed and reviewed by the faculty may be carried out
  • Study: from 60 hours.

Assessment tests. 6 hours

6 ECTS = 150 hours

In principle, the teaching methodology and its evaluation is planned to be based on face-to-face classes . However, if circumstances so require, they may be carried out online.

5. Assessment system

The evaluation will be global, both in first and second call, and will consist of a final exam to be taken in the period established by the Center. This exam will be written and will evaluate the proposed learning results by means of theoretical, practical and/or theoretical-practical questions that will be adjusted to the subject matter. Grading is out of 10 points.

In addition, in the first call, there is the possibility of  taking a voluntary midterm test valued at 5 points.  This test will evaluate the knowledge on the subject corresponding to topics 1 and 2 of the program, and will take place on the date and place that the teacher, with sufficient notice, will indicate in the classroom and/or teaching platforms of the faculty.

The students who obtain in this test a grade higher than or equal to 50% of the grade (2.5 points out of 5) may choose to eliminate these topics from the global exam of the first call and only take an exam on the remaining contents (valued at 5 points). In this case, the grade corresponding to the eliminated topics will be transferred to the grade of the global exam . To pass the subject the student must obtain a minimum of 5 points out of 10. In order to be eligible for this form of assessment, it is compulsory to actively participate and solve the questions, exercises and tests that will be carried out in the classes according to the indications that the lecturer responsible for each group of the subject will give on the day of the presentation of the subject. In this case it is necessary to participate in at least 75% of the proposed activities.

Assessment criteria

It will be assessed whether the student has acquired the learning results outlined above. In particular, the following aspects will be assessed:

1. The correct use of writing mathematical language.

2. Logical reasoning in the approach and resolution of problems.

3. The reference to the theoretical content used is noteworthy.

4. The choice of the appropriate method for solving the problem.

5. Clarity in the application of mathematical concepts and procedures.

6. The correct expression in the results obtained when solving problems.

7. Interpretation of the results in the context of the problem posed, if applicable.


Curso Académico: 2023/24

417 - Graduado en Economía

27402 - Matemáticas I


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27402 - Matemáticas I
Centro académico:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Titulación:
417 - Graduado en Economía
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

1. Información básica de la asignatura

Las asignaturas de matemáticas son, para los futuros graduados en economía, un instrumento metodológico de trabajo que debe servir de apoyo a otras asignaturas que forman el núcleo distintivo de su formación, como microeconomía, macroeconomía, econometría, etc.

El objetivo general de esta materia es estudiar los problemas económicos desde un punto de vista formal, es decir, modelar la realidad económica para poder entenderla y dar una explicación científica de lo que ha ocurrido, así como intentar predecir lo que va a ocurrir.

En concreto, la asignatura Matemáticas I tiene como objetivo ampliar los conocimientos matemáticos relativos al cálculo matricial y funciones de una variable e introducir el estudio de funciones de varias variables, preparando así al estudiante para asimilar en Matemáticas II (impartida en el segundo cuatrimestre del mismo curso) las herramientas matemáticas más utilizadas en el análisis económico, fundamentalmente en el campo de la Teoría Económica y de la Econometría. Esta primera asignatura de matemáticas ayuda al estudiante a despegar de sus conocimientos fundamentalmente calculísticos, propios de las matemáticas en enseñanzas medias, hacia el rigor y la abstracción propios del campo científico de la Matemática, lo que le permitirá enfrentarse a otras asignaturas del grado que utilicen aparato matemático y a futuros retos dentro de su profesión. Al finalizar la asignatura el estudiante conocerá con cierta precisión el lenguaje matemático, que le permitirá entender conceptos económicos e interpretar resultados con cierto rigor, y conocerá un conjunto de instrumentos y métodos de cálculo que le permitirán la resolución de problemas económicos sencillos.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), en concreto, las actividades previstas en la asignatura contribuirán al logro de los objetivos 1-17 ya que en todos pueden aplicarse modelizaciones matemáticas.

Es aconsejable que al inicio de esta asignatura los estudiantes tengan destreza en el manejo de operaciones aritméticas, de matrices y de funciones reales de una variable real, a nivel de los conocimientos adquiridos en la asignatura de Bachillerato Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

2. Resultados de aprendizaje

Al final de la asignatura el estudiantado será capaz de:

  1. Utilizar con cierta destreza el lenguaje matemático, tanto en su comprensión como en su escritura.
  2. Distinguir cuándo las relaciones entre las variables de un problema son lineales o no lineales y utilizar para su representación el instrumento matemático adecuado en cada caso.
  3. Utilizar la notación y el cálculo matricial para representar y resolver un problema de carácter económico en el que las relaciones entre las variables son lineales.
  4. Resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible utilizando el método más adecuado e interpretar sus soluciones en el contexto del que provenga si es el caso.
  5. Determinar si una matriz cuadrada es diagonalizable y diagonalizarla en su caso.
  6. Aplicar la diagonalización de matrices cuadradas en el contexto económico, por ejemplo, en el estudio de un proceso dinámico a largo plazo.
  7. Identificar una forma cuadrática y determinar su signo con el procedimiento más adecuado.
  8. Diferenciar en un fenómeno económico las variables endógenas y exógenas y representar mediante funciones las relaciones entre ellas.
  9. Comprender el significado de los conceptos matemáticos de continuidad y diferenciabilidad en el contexto económico.
  10. Calcular derivadas parciales e interpretarlas en el ámbito económico.
  11. Reconocer la dependencia en cadena de diferentes variables y calcular la variación de las variables finales respecto a cualquiera de las iniciales.
  12. Reconocer si una función está dada en forma explícita o implícita y obtener las derivadas parciales, en cualquier caso.
  13. Reconocer cuando una función es homogénea y las implicaciones de esta propiedad, en particular en el contexto de las funciones de producción.
  14. Reconocer la herramienta matemática que permite determinar una magnitud total a partir de la correspondiente parcial.
  15. Comprender los conceptos de primitiva de una función e integral indefinida.
  16. Identificar y aplicar el método más adecuado para calcular la integral indefinida de una función.
  17. Comprender el significado geométrico de la integral definida: integral de Riemann.
  18. Aplicar la regla de Barrow para el cálculo de la integral definida.
  19. Identificar los elementos fundamentales en un problema de carácter económico, formalizar si es posible dicho fenómeno en un problema matemático, resolver dicho problema matemático con el método o herramienta más adecuada e interpretar el resultado en el contexto económico original.

3. Programa de la asignatura

Tema 1. Matrices

1.1.  Determinantes. Aplicaciones: cálculo del rango de una matriz, cálculo de la matriz inversa y Regla de Cramer.

1.2.    Rn: Sistemas generadores. Bases.

1.3.  Diagonalización de matrices cuadradas:

1.3.1.  Valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada: definición y cálculo.

1.3.2.  Diagonalización de una matriz cuadrada.

1.3.3.  Aplicación al cálculo de potencias de matrices.

Tema 2. Formas cuadráticas reales

2.1.  Formas cuadráticas: definición. Expresión matricial y expresión polinómica.

2.2.  Expresión diagonal de una forma cuadrática.

2.3.  Clasificación de una forma cuadrática según su signo.

2.4.  Formas cuadráticas restringidas.

Tema 3. Funciones de Rn en Rm

3.1.  Preliminares: conceptos topológicos.

3.2.  Funciones: dominio, rango y grafo. Conjuntos de nivel de funciones escalares.

3.3.  Continuidad de una función.

3.4.  Derivación de una función. Derivadas parciales. Vector gradiente. Matriz jacobiana.

3.5.  Función diferenciable. Derivada direccional de funciones diferenciables.

3.6.  Derivación de funciones compuestas: Regla de la cadena. Diagramas de árbol.

3.7.  Derivadas de orden superior. Teorema de Schwartz. Matriz hessiana. Teorema de Taylor.

3.8.  Teorema de la función implícita. Derivación de funciones implícitas.

3.9.  Funciones homogéneas. Teorema de Euler.

3.10.  Métodos básicos de integración de una función de una variable. Regla de Barrow.

4. Actividades académicas

Para facilitar al estudiantado el logro de los resultados de aprendizaje previstos se propone:

 

Clases magistrales: 30 horas, en las que se combinará la exposición de conceptos y resultados con la resolución participativa de ejercicios, en los que se aplicará de forma inmediata los aspectos teóricos. Estas clases serán presenciales y se impartirán a todo el grupo.

Clases prácticas: 30 horas, en las que el estudiantado irá resolviendo, con la ayuda del profesor, ejercicios más completos y problemas de carácter económico. Estos ejercicios se podrán encontrar en la url. Estas clases serán presenciales y se impartirán a la mitad del grupo.

Trabajo personal:

  • Trabajos docentes: hasta 24 horas, en los que se podrán realizar diversas actividades dirigidas y revisadas por el profesorado.
  • Estudio: desde 60 horas.

Pruebas de evaluación: 6 horas

6 ECTS = 150 horas

En principio la metodología de impartición de la docencia y su evaluación está previsto que pivote alrededor de clases presenciales. No obstante, si las circunstancias lo requieren, podrán realizarse de forma online.

5. Sistema de evaluación

La evaluación será global, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en el periodo establecido por el Centro. Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.

Además, en la primera convocatoria, cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1 y 2 del programa, y se llevará a cabo en la fecha y lugar que el profesor, con suficiente antelación, indique en el aula y/o plataformas docentes del profesorado. Los estudiantes que obtengan en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) podrán optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en cuyo caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Para superar la asignatura el estudiante debe obtener un mínimo de 5 puntos sobre 10. Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma. En tal caso es necesario participar en al menos el 75% de las actividades propuestas.

Criterios de evaluación

Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular, se valorarán los siguientes aspectos:

      1. El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
      2. El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
      3. La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.
      4. La elección del método adecuado para la resolución del problema.
      5. La claridad en la aplicación de los conceptos y procedimientos matemáticos.
      6. La expresión correcta en los resultados obtenidos al resolver problemas.
      7. La interpretación de los resultados en el contexto del problema planteado, si procede.